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확률 나무 다이어그램확률 나무 다이어그램(Probability Tree Diagram)은 여러 단계로 이루어진 확률 사건을 시각적으로 정리하는 방법이다. 주로 연속적인 사건이 발생할 때 확률을 쉽게 계산하는 데 사용된다.확률 나무 다이어그램의 기본 구조첫 번째 분기 (Initial Branches)첫 번째 사건의 가능한 결과를 나타냄.두 번째 분기 (Subsequent Branches)첫 번째 사건이 발생한 후, 두 번째 사건의 가능한 결과를 나타냄.확률 할당 (Assigning Probabilities)각 가지(branch)에 해당하는 확률을 적음.전체 확률 계산 (Multiplication Rule 적용)나뭇가지(branch)의 확률을 곱해서 최종 확률을 구함.확률 나무 다이어그램의 활용연속적인 사건..

상호 독립의 정의세 개 이상의 사건 A, B, C가 상호 독립(Mutually Independent)이려면, 다음 조건을 모두 만족해야 한다:각각의 사건이 독립이어야 한다.P(A∩B) = P(A)P(B)P(A∩C)=P(A)P(C)P(B∩C)=P(B)P(C)세 사건을 함께 고려했을 때도 독립이어야 한다.P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)즉, 쌍(pair) 단위로 독립인 것만으로는 부족하고, 전체적인 독립성도 확인해야 한다.독립 사건과 상호 독립 사건의 차이독립 사건 (Independent Events): 두 개의 사건이 서로 영향을 주지 않음.상호 독립 (Mutual Independence): 세 개 이상의 사건이 개별적으로 뿐만 아니라 전체적으로도 독립이어야 함.즉, 모든 쌍이 독립이라고 해서 상호 ..

독립성독립성(Independence)이란 두 사건이 서로 영향을 미치지 않는 경우를 의미한다. 즉, 어떤 사건 A가 발생해도 다른 사건 B의 발생 확률이 변하지 않을 때 이 두 사건은 독립이라고 한다.독립 사건의 정의사건 A와 B가 독립이면, 다음 식을 만족해야 한다:P(A∩B) = P(A)P(B)즉, 두 사건이 독립이면, 각 사건의 확률을 곱한 값이 두 사건이 동시에 발생할 확률과 같다.이 공식은 곱셈 법칙을 변형한 형태이다. 만약 이 식이 성립하지 않는다면, A와 B는 독립이 아니다.조건부 확률을 통한 독립성의 정의독립 사건의 경우 조건부 확률이 다음과 같이 성립해야 한다:P(A∣B)=P(A)P(B∣A)=P(B)즉, B가 발생했다는 정보가 있어도 A가 발생할 확률이 변하지 않는다면, A와 B는 독립이..

베이즈 정리베이즈 정리(Bayes’ Rule)는 새로운 정보를 반영하여 확률을 업데이트하는 방법이다. 즉, 어떤 사건이 발생한 후, 그 원인이 특정 사건일 확률을 계산하는 데 사용된다.여기서:P(A∣B): 사후 확률 (Posterior Probability)→ B가 발생한 후, A가 발생했을 확률 (업데이트된 확률)P(B∣A): 우도 (Likelihood)→ A가 발생했을 때, B가 발생할 확률P(A): 사전 확률 (Prior Probability)→ 추가 정보 없이, A가 발생할 확률P(B): 정규화 상수 (Marginal Probability)→ B가 발생할 전체 확률 (모든 가능한 원인 고려)이 공식은 기존 확률(사전 확률)과 새로운 정보(우도)를 조합하여 최종 확률(사후 확률)을 구하는 과정을 보..

조건부 확률조건부 확률(Conditional Probability)은 어떤 사건 B가 발생했을 때, 다른 사건 A가 발생할 확률을 의미한다. 즉, 주어진 정보가 있을 때 확률이 어떻게 변하는지를 나타내는 개념이다. 사건 B가 발생했을 때, A가 발생할 확률은 다음과 같이 정의된다:​여기서:P(A∣B): B가 발생한 조건에서 A가 발생할 확률P(A∩B): A와 B가 동시에 발생할 확률P(B): B가 발생할 확률 (단, P(B) > 0 이어야 함)예제 1: 주사위 문제문제: 주사위를 던졌을 때, 짝수가 나왔다고 할 때, 그 값이 4일 확률을 구하라. 풀이:A = "4가 나오는 사건" → A = {4}B = "짝수가 나오는 사건" → B = {2, 4, 6}전체 주사위 경우의 수: 6개짝수가 나올 확률: P(..

전체 확률의 법칙전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)은 서로소(Disjoint) 사건들로 이루어진 전체 표본 공간을 활용하여 특정 사건의 확률을 계산하는 방법이다. 어떤 사건 A가 전체 표본 공간 S를 구성하는 여러 개의 서로소 사건 B1, B2,..., Bn​ 중 하나에서만 발생한다고 하자.이때, 전체 확률의 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있다:P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ⋯ + P(A∩Bn)이걸 조건부 확률을 이용하면,P(A) = P(A∣B1)P(B1) + P(A∣B2)P(B2) + ⋯ + P(A∣Bn)P(Bn)즉, 어떤 사건 A가 여러 가능한 경우 중 하나에서 발생할 확률을 합산하는 것이다.전체 확률의 법칙을 이해하면, 복잡한 확률 문제를 서로소 사건으..

확률 모델의 성질확률 모델은 몇 가지 중요한 성질을 만족해야 한다. 이를 이해하면 확률을 다룰 때 논리적으로 접근할 수 있다.확률의 기본 성질확률 함수 P는 표본 공간에서 정의되며 다음 성질을 만족해야 한다:확률의 범위 (Bounded Probability)0 ≤ P(A) ≤ 1확률은 항상 0 이상 1 이하의 값을 가져야 한다.예: 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 0.5로, 이 범위 내에 있다.전체 표본 공간의 확률 (Total Probability)P(S) = 1표본 공간에서 가능한 모든 결과를 고려하면, 반드시 하나의 사건이 발생하기 때문에 전체 확률은 1이다.예: 주사위를 던지면 반드시 {1,2,3,4,5,6} 중 하나가 나오므로, P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) +..

벤 다이어그램벤 다이어그램(Venn Diagram)은 확률적 사건과 그 관계를 시각적으로 표현하는 도구다. 보통 원(circle)으로 사건을 나타내고, 사건 간의 관계를 쉽게 이해할 수 있도록 도와줘.벤 다이어그램의 기본 요소표본 공간 (SS)전체 사각형(혹은 원)으로 나타내며, 가능한 모든 결과를 포함한다.사건 (A, B)원으로 표현되며, 특정한 조건을 만족하는 결과들의 집합이다.교집합 (A∩B) – "둘 다 발생하는 경우"A와 B의 공통부분예: 주사위를 던져 짝수이면서 3보다 큰 수가 나오는 경우 → A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}  A∩B = {4, 6}합집합 (A∪B) – "하나라도 발생하는 경우"A 또는 B 중 하나라도 포함되는 영역예: 주사위를 던져 짝수이거나 3보다 큰 수..