Cauchy-Schwarz Inequality (코시-슈바르츠 부등식)

코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz Inequality)은
기댓값과 분산, 공분산 계산의 기초가 되는 매우 중요한 불평등식이다.

선형대수에서도 자주 등장하지만, 확률 이론에서도 핵심적으로 쓰인다.

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공식 (확률 변수 버전)

 

두 변수의 곱의 기댓값(상관도)이, 각각의 제곱 기댓값(분산 수준)의 곱의 제곱근보다 크지 않음

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벡터 내적의 확률 버전

이 부등식은

(벡터 내적 ≤ 노름 곱)
이라는 선형대수의 공식과 완전히 같은 구조이다.
→ 확률 이론에서는 내적 = 기대값, 노름 = 제곱기댓값의 제곱근으로 해석

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동등 조건

 

즉, X = aY 같은 형태일 때만 부등식이 등호가 됨

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활용

• 상관계수 정의에서 증명에 사용:

• 불확실성 하한 증명
• 회귀 분석의 수학적 기반
• 내적 공간 성질 이해

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예제

 

→ 두 값이 같음 → X, Y는 선형 관계