The Laplace Distribution (라플라스 분포, 이중 지수 분포)

이중 지수 분포

라플라스 분포(Laplace Distribution) 또는 이중 지수 분포(Double Exponential Distribution)는 평균을 중심으로 대칭적인 확률 분포로, 데이터가 정규 분포보다 중심에 더 집중되고 꼬리가 더 두꺼운(heavy-tailed) 특징이 있다.

 

• 정규 분포(Gaussian Distribution)와 유사하지만, 중심에서 더 뾰족하고 꼬리가 두꺼운 분포.
• 특정한 점(평균)에서 값이 급격히 변화하는 경우 모델링할 때 적합.
• "변화가 급격하게 발생하는 데이터"를 다룰 때 사용됨.

출처: https://beta.boost.org/doc/libs/1_46_0/libs/math/doc/sf_and_dist/html/math_toolkit/dist/dist_ref/dists/laplace_dist.html

 

라플라스 분포가 적용되는 예시

• 금융 데이터(주가, 환율 변동) → 정규 분포보다 급격한 변화가 많음.
• 자연어 처리(NLP)에서 오차 모델링 → 단어 빈도수나 감정 분석에서 활용됨.
• 신호 처리 및 이미지 압축 → 변화가 많은 데이터에 적합.
• 가설 검정 및 Bayesian 분석 → 라플라스 사전 분포(Prior)로 사용됨.

---

확률 밀도 함수 (PDF)

 

여기서:

• μ = 위치 모수(location parameter, 평균 역할)
• b = 척도 모수(scale parameter, 분산 역할)
• e = 자연상수 (≈ 2.718)

라플라스 분포는 평균(μ)을 중심으로 대칭이며, 기울기가 급격히 변함.
b가 클수록 분포가 더 퍼지고, 작을수록 데이터가 중심에 집중됨.

 

비교:

• 정규 분포: 중심에서 완만하게 변화, 꼬리가 얇음.
• 라플라스 분포: 중심에서 급격하게 변화, 꼬리가 두꺼움.

---

누적 분포 함수 (CDF)

CDF는 정규 분포보다 중심에서 빠르게 증가한다. 따라서 이상값(Outlier)이 있을 때도 상대적으로 강건(Robust)하다.

---

기댓값과 분산

---

라플라스 분포의 특징

1. 꼬리가 두꺼운 분포 (Heavy-Tailed Distribution)
   • 정규 분포보다 극단적인 값(이상값)이 더 자주 발생.
   • 금융 데이터, 소셜 미디어 감정 분석 등에서 활용.
2. 변화가 급격한 데이터에 적합
   • 정규 분포는 점진적인 변화 모델링에 적합하지만,
   • 라플라스 분포는 급격한 변화가 포함된 데이터를 잘 설명함.
3. 정규 분포보다 이상값(Outlier)에 덜 민감
   • 평균보다 중앙값(Median)이 더 중요한 경우에 유용.
   • 로버스트(robust) 회귀 분석에서 활용.

---

라플라스 분포의 활용

• 금융 데이터 분석 → 주가, 환율의 급격한 변동 모델링
• 자연어 처리(NLP) → 감정 분석(Sentiment Analysis) 모델링
• 이미지 압축 및 신호 처리 → 변화가 많은 데이터의 분포 모델링
• 베이지안 분석(Bayesian Analysis) → 강건한 사전 확률(Prior) 분포로 사용

라플라스 분포는 "급격한 변화"를 모델링할 때 강력한 도구이다. 정규 분포와 달리, 중심에서 데이터가 더 집중되고 꼬리가 두꺼운 특성을 가진다.

---

예제: 금융 데이터 분석

예제: 주가 변동이 평균 100을 중심으로 변화하며, 급격한 변동을 가질 때 모델링
b=10b = 10b=10인 경우, 특정 구간의 확률을 계산해 보자.

 

구간 확률 계산

정규 분포보다 중심 값에 더 많은 확률이 집중된다.
즉, 급격한 변화를 예측할 때 유용하다.