The Vector Normal to a Plane (평면의 법선 벡터)

평면의 법선 벡터(normal vector)는 그 평면에 수직인 방향을 가지는 벡터입니다.
즉, 평면을 뚫고 나오는 방향을 가진 벡터라고 생각하시면 됩니다.
법선 벡터는 평면을 나타내는 방정식과 밀접한 관계가 있습니다.

 

응용 예

• 평면과 점 사이의 거리 계산
• 평면 위의 벡터 투영
• 교차 여부 판단 (벡터와 평면의 수직 조건 등)
• 컴퓨터 그래픽스에서 표면 방향 계산
• 머신러닝에서 decision boundary의 방향성 이해

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3차원에서 일반적인 평면 방정식은 다음과 같습니다:

 

여기서 a, b, c는 각각 x, y, z에 대한 계수이며,
이 세 수를 이용해 다음과 같이 법선 벡터를 만들 수 있습니다:

 

즉, 평면의 방정식에서 변수 앞의 계수들이 바로 법선 벡터를 이룹니다.

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예제

다음 평면을 보겠습니다:

이때 법선 벡터는:

이 벡터는 해당 평면에 수직이며, 기하학적으로는 해당 평면과 직각을 이루는 방향을 나타냅니다.

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두 벡터의 외적을 통한 법선 벡터

벡터 두 개가 평면 위에 있다고 할 때, 그 두 벡터의 외적(cross product)을 계산하면 그 결과가 해당 평면의 법선 벡터가 됩니다.

예:

→ x축과 y축을 이루는 평면의 법선은 z 축 방향.