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이항 분포이항 분포(Binomial Distribution)는 베르누이 시행을 여러 번 반복했을 때 성공하는 횟수를 나타내는 확률 분포이다.이항 분포란?이항 분포는 성공/실패(binary outcome)가 존재하는 독립적인 시행을 여러 번 반복하는 경우 사용된다.각 시행은 베르누이 시행 (즉, 성공/실패의 두 가지 결과만 존재).모든 시행에서 성공 확률 p가 동일.n번의 시행 중 성공 횟수 X를 확률 변수로 가짐.이항 분포는 "반복된 베르누이 시행"에서 특정 횟수만큼 성공할 확률을 모델링한다.이항 분포의 확률 질량 함수 (PMF)확률 변수가 이항 분포를 따른다면 다음과 같이 표현된다:이때 확률 질량 함수(PMF)는:여기서:k = 성공 횟수 (우리가 구하려는 값)n = 시행 횟수 (총 몇 번 반복하는지)p..

범주형 분포범주형 분포(Categorical Distribution)는 세 개 이상의 범주를 가지는 이산 확률 분포이다.즉, 여러 개의 가능한 결과 중 하나가 발생하는 경우를 모델링하는 데 사용된다.범주형 분포란?범주형 분포는 베르누이 분포의 확장판이다.베르누이 분포: 두 가지 결과(예: 앞면 vs 뒷면)만 존재범주형 분포: 세 개 이상의 결과(예: 주사위 눈금, 여러 선택지 중 하나)확률 변수가 k개의 서로 다른 범주를 가질 때 사용한다.범주형 분포의 확률 질량 함수 (PMF)확률 변수가 X가 k개의 가능한 범주를 가질 때, 범주형 분포는 이렇게 표현된다.각 범주 i에 대한 확률은: 각 범주의 확률을 더하면 항상 1이 되어야 한다.기댓값과 분산범주형 분포의 기댓값은 개별 확률과 범주의 값을 이용해서 계..

베르누이 분포베르누이 분포(Bernoulli Distribution)는 가장 단순한 확률 분포로, 두 가지 결과(성공 또는 실패)만 가지는 실험을 나타내는 분포이다.베르누이 시행 (Bernoulli Trial)베르누이 분포는 한 번의 시행(Experiment)에서 성공 또는 실패 중 하나의 결과만 나오는 경우에 적용된다.예를 들어:동전 던지기 (앞면=1, 뒷면=0)정답을 맞힐 확률 (정답=1, 오답=0)공장에서 생산된 제품이 정상인지 불량인지 (정상=1, 불량=0)이처럼 결과가 이진(binary)으로 나뉘는 실험을 베르누이 시행(Bernoulli Trial)이라고 한다.베르누이 분포의 확률 질량 함수 (PMF)확률 변수가 X가 베르누이 분포를 따른다면:여기서:p = 성공할 확률 (0 ≤ p ≤ 1)1 −..

확률 변수란?확률 변수(Random Variable)는 어떤 확률적인 실험에서 가능한 결과를 숫자로 변환하는 변수다.즉, 확률적으로 결정되는 값을 의미한다.확률 변수의 개념확률 변수는 실험 결과를 수학적으로 표현하기 위해 사용된다.예를 들어, 동전을 던지는 실험에서:앞면이 나오면 1,뒷면이 나오면 0이렇게 숫자로 변환하면 확률 변수가 된다.확률 변수의 두 가지 유형(1) 이산 확률 변수 (Discrete Random Variable)정해진 개수의 값만 가질 수 있는 확률 변수.주어진 값 이외의 값은 존재하지 않음.예:동전 던지기: X = {0(뒷면), 1(앞면)}주사위 던지기: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}한 가게의 하루 방문 고객 수: X = {0, 1, 2,...}(2) 연속 확률 변수 (..

확률 나무 다이어그램확률 나무 다이어그램(Probability Tree Diagram)은 여러 단계로 이루어진 확률 사건을 시각적으로 정리하는 방법이다. 주로 연속적인 사건이 발생할 때 확률을 쉽게 계산하는 데 사용된다.확률 나무 다이어그램의 기본 구조첫 번째 분기 (Initial Branches)첫 번째 사건의 가능한 결과를 나타냄.두 번째 분기 (Subsequent Branches)첫 번째 사건이 발생한 후, 두 번째 사건의 가능한 결과를 나타냄.확률 할당 (Assigning Probabilities)각 가지(branch)에 해당하는 확률을 적음.전체 확률 계산 (Multiplication Rule 적용)나뭇가지(branch)의 확률을 곱해서 최종 확률을 구함.확률 나무 다이어그램의 활용연속적인 사건..

상호 독립의 정의세 개 이상의 사건 A, B, C가 상호 독립(Mutually Independent)이려면, 다음 조건을 모두 만족해야 한다:각각의 사건이 독립이어야 한다.P(A∩B) = P(A)P(B)P(A∩C)=P(A)P(C)P(B∩C)=P(B)P(C)세 사건을 함께 고려했을 때도 독립이어야 한다.P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)즉, 쌍(pair) 단위로 독립인 것만으로는 부족하고, 전체적인 독립성도 확인해야 한다.독립 사건과 상호 독립 사건의 차이독립 사건 (Independent Events): 두 개의 사건이 서로 영향을 주지 않음.상호 독립 (Mutual Independence): 세 개 이상의 사건이 개별적으로 뿐만 아니라 전체적으로도 독립이어야 함.즉, 모든 쌍이 독립이라고 해서 상호 ..

독립성독립성(Independence)이란 두 사건이 서로 영향을 미치지 않는 경우를 의미한다. 즉, 어떤 사건 A가 발생해도 다른 사건 B의 발생 확률이 변하지 않을 때 이 두 사건은 독립이라고 한다.독립 사건의 정의사건 A와 B가 독립이면, 다음 식을 만족해야 한다:P(A∩B) = P(A)P(B)즉, 두 사건이 독립이면, 각 사건의 확률을 곱한 값이 두 사건이 동시에 발생할 확률과 같다.이 공식은 곱셈 법칙을 변형한 형태이다. 만약 이 식이 성립하지 않는다면, A와 B는 독립이 아니다.조건부 확률을 통한 독립성의 정의독립 사건의 경우 조건부 확률이 다음과 같이 성립해야 한다:P(A∣B)=P(A)P(B∣A)=P(B)즉, B가 발생했다는 정보가 있어도 A가 발생할 확률이 변하지 않는다면, A와 B는 독립이..

베이즈 정리베이즈 정리(Bayes’ Rule)는 새로운 정보를 반영하여 확률을 업데이트하는 방법이다. 즉, 어떤 사건이 발생한 후, 그 원인이 특정 사건일 확률을 계산하는 데 사용된다.여기서:P(A∣B): 사후 확률 (Posterior Probability)→ B가 발생한 후, A가 발생했을 확률 (업데이트된 확률)P(B∣A): 우도 (Likelihood)→ A가 발생했을 때, B가 발생할 확률P(A): 사전 확률 (Prior Probability)→ 추가 정보 없이, A가 발생할 확률P(B): 정규화 상수 (Marginal Probability)→ B가 발생할 전체 확률 (모든 가능한 원인 고려)이 공식은 기존 확률(사전 확률)과 새로운 정보(우도)를 조합하여 최종 확률(사후 확률)을 구하는 과정을 보..