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연립 선형 방정식이 무수히 많은 해를 가지는 경우는, 모든 방정식을 만족시키는 해가 하나가 아니라 무한히 존재할 때입니다.이는 식들 간에 의존성(종속성)이 있어서 실제로는 독립적인 정보가 부족할 때 발생합니다.예시 두 번째 식은 첫 번째 식을 2배 한 것입니다. 즉, 두 식은 같은 직선을 나타냅니다.따라서 x + y = 2를 만족하는 모든 점이 해가 되며, 무한히 많은 해를 갖습니다. 행렬 표현 위 식을 행렬로 나타내면: 가우스 소거법 적용:R2 = R2 - 2 × R1→ [2, 2, 4] − 2 × [1, 1, 2] = [0, 0, 0] 결과: 즉, 독립적인 식은 1개뿐이고, 나머지는 중복 정보입니다. 해가 하나로 결정되지 않기 때문에, 자유 변수(free variable)를 두고 표현해야 합니다. 해..

연립 선형 방정식을 풀 때, 해가 존재하지 않는 경우가 있습니다.이건 방정식들이 서로 모순되는 조건을 포함하고 있을 때 발생합니다. 즉, 어떤 값도 모든 식을 동시에 만족시킬 수 없는 경우입니다.예시두 번째 식은 첫 번째 식에 2를 곱한 것처럼 보이지만, 오른쪽 상수항은 2 ×2가 아니라 5입니다. 즉, 두 식의 계수는 비례하지만, 상수항은 비례하지 않습니다.이 경우 두 직선은 기울기는 같지만 다른 위치에 있는 평행선이므로 서로 만나지 않으며, 해가 없습니다. 행렬 관점확장 행렬을 만들고 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같은 형태가 나올 수 있습니다:두 번째 행은 다음을 의미합니다:이러한 모순된 식이 등장하면, 이는 시스템이 해를 가질 수 없음을 의미합니다.  기하학적 해석 2개의 방정식 → 2개의 직선..

가우스 소거법(Gaussian Elimination)은 연립 선형 방정식을 푸는 체계적이고 일반적인 방법입니다.핵심 아이디어는 행(row) 단위의 연산을 통해 계수 행렬을 계단 형태(row echelon form)로 바꾸고, 거기서부터 역방향 대입(back-substitution)을 통해 해를 구하는 것입니다.예시다음과 같은 연립방정식을 생각해 보겠습니다: 이를 행렬로 표현하면: 이제 이 augmented matrix(확장 행렬)에 대해 행 연산(row operations)을 적용합니다.사용 가능한 행 연산 3가지어떤 두 행을 서로 바꿀 수 있습니다.한 행에 상수를 곱할 수 있습니다 (단, 0은 제외).한 행에 다른 행의 배수를 더하거나 뺄 수 있습니다.이 세 가지 연산은 방정식의 해를 바꾸지 않고 행렬..

3개의 미지수 x, y, z에 대해 3개의 선형 방정식이 주어진 경우, 이 시스템의 해를 찾는 것이 목표입니다.예를 들어:이 문제는 3차원 공간에서의 세 평면의 교점을 구하는 것으로 해석할 수 있습니다.가능한 3가지의 해 유일한 해 (Unique Solution)세 평면이 한 점에서 만나는 경우입니다. 이 경우가 가장 이상적이며, 해는 딱 하나입니다.해가 없음 (No Solution)세 평면이 서로 만나지 않거나, 일부만 교차하지만 세 평면이 한 점에서 동시에 만나지 않는 경우입니다.예: 세 평면이 마치 삼각기둥의 옆면처럼 서 있는 경우.무수히 많은 해 (Infinitely Many Solutions)세 평면이 한 선을 따라 만나거나, 세 평면이 모두 동일한 평면 또는 동일한 선분을 공유하는 경우입니다...

2개의 미지수 x, y에 대해 2개의 선형 방정식이 주어졌을 때, 이 시스템(system)의 해(solution)를 찾는 것이 핵심입니다.즉, 다음과 같은 형태의 연립방정식을 생각하시면 됩니다:기하학적으로는 두 직선의 교점을 찾는 문제입니다.가능한 경우 3가지유일한 해 (Unique Solution)두 직선이 한 점에서 만나면 그 점이 유일한 해입니다.예: 기울기가 다른 두 직선이 만나는 경우.해가 없음 (No Solution)두 직선이 평행하지만 서로 다른 위치에 있으면, 절대 만나지 않으므로 해가 없습니다.무수히 많은 해 (Infinitely Many Solutions)두 직선이 완전히 겹치는 경우입니다. 즉, 두 방정식이 사실상 같은 직선을 표현하고 있을 때입니다.행렬 표현 (Matrix Form)..

선형대수학에서 "직선(line)"과 "평면(plane)"은 벡터(vector)와 벡터 방정식(vector equation)을 통해 표현됩니다.보통 함수 형태 y = mx + b 또는 일반형 ax + by + c = 0처럼 표현하지만, 선형대수에서는 한 점과 방향 벡터를 기준으로 표현하는 것이 핵심입니다.직선의 벡터 표현직선은 다음과 같은 벡터 방정식으로 표현됩니다: 예를 들어,라고 하면, 이는 점 (1, 2)를 지나고 방향이 (3, -1)인 직선을 의미합니다.평면의 벡터 표현3차원 공간에서는 평면을 아래와 같은 형태로 나타냅니다:이러한 표현은 두 방향 벡터를 따라 평면 위의 모든 점을 생성해 냅니다.평면의 일반식요약

확률의 곱 규칙(Chain Rule of Probability)은 여러 확률 변수의 결합 확률(joint probability)을 조건부 확률로 분해해서 계산할 수 있도록 해주는 핵심 공식이다.  두 사건이 동시에 일어날 확률은한 사건이 주어졌을 때 다른 사건이 일어날 조건부 확률 × 그 사건의 확률 “전체 사건”을 순차적으로 조건부로 분해해서모든 정보가 누적된 상태에서 다음 확률을 곱해 나가는 구조→ 확률을 계산할 수 없는 복잡한 문제도→ 작은 조건부 단위로 나눠서 계산 가능다변수의 일반화  결합 확률 = 조건부 확률의 곱

베타 분포(Beta Distribution)는 [0, 1] 구간에서 정의되는 연속 확률 분포이다.확률이나 비율(예: 클릭률, 성공 확률 등)을 모델링할 때 자주 사용되고, 베이지안 통계에서는 베르누이/이항 분포의 사전 분포로도 활용된다.확률 밀도 함수 (PDF)기댓값과 분산형태 예시α = β = 1: 균등 분포 U(0, 1)α > 1, β > 1: 가운데 봉우리가 있는 종 모양α : 양쪽 끝에 치우친 U자 형태α = 2, β = 5: 왼쪽에 집중α = 5, β = 2: 오른쪽에 집중