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감마 분포(Gamma Distribution)는 연속 확률 분포 중 하나로, 양수 실수 구간에서 정의되며, 지수분포·카이제곱분포·베타분포 등과 밀접한 관계를 가진 분포이다.주로 대기 시간, 생존 시간, 누적 이벤트 발생 시간 등을 모델링할 때 사용된다.확률 밀도 함수 (PDF)기댓값과 분산모양α : 앞에서 뾰족하고 급격히 감소α = 1: 지수 분포와 동일α > 1: 왼쪽에 peak가 있고, 오른쪽으로 천천히 감소→ 매우 유연한 형태를 가지므로 다양한 데이터에 적합주요 사례

중심극한정리(Central Limit Theorem)는 확률 이론과 통계학에서 가장 중요하고 널리 쓰이는 정리이다.복잡한 분포라도, 샘플 평균은 정규분포로 수렴한다는 매우 강력한 결과다.   원래 분포가 정규든 아니든 관계없이,샘플 평균은 큰 nnn일수록 정규분포에 가까워진다→ “복잡한 분포도 평균을 보면 정규다”비정규 분포의 정규 근사포아송, 지수, 카이제곱 등 거의 모든 분포가 CLT를 통해 정규로 근사 가능n이 충분히 크면, 정규 근사로 확률 계산 가능예제

분포 수렴(Convergence in Distribution)은 확률 변수의 분포 함수(F(x))가 어떤 분포 함수로 수렴한다는 의미이다.확률 변수 자체의 수렴이 아니라, 분포 형태의 수렴을 말한다.  이는 다음과 같은 의미이다: Xn​의 분포가 점점 X의 분포와 같아진다하지만, Xn​ 자체가 X에 가까워지는 건 아님→ 단순히 "분포의 모양이 비슷해진다"는 의미다른 수렴과의 관계예제: 중심극한정리의 수렴 형태 정규분포로 분포 수렴한다.

강한 대수의 법칙(Strong Law of Large Numbers, SLLN)은 샘플 평균이 모평균에 거의 확실하게 수렴한다는 강력한 결과이다.통계학과 확률론의 핵심 이론 중 하나고, 약한 대수의 법칙(WLLN) 보다 더 강한 수렴을 보장한다. 2025.03.21 - [데이터 사이언스/수리 통계학] - Weak Law of Large Numbers (약한 대수의 법칙, WLLN) 샘플 평균은 확률 1로 모평균에 수렴한다무작위성이 있어도 거의 모든 시행 경로(sample path)에서 수렴WLLN vs SLLN 차이예제

→ Xn이 어떤 값 X로 수렴하는데,그 수렴이 확률 1로 반드시 일어난다는 의미이다.  확률 수렴 vs 거의 확실한 수렴예제

약한 대수의 법칙(Weak Law of Large Numbers, WLLN)은 샘플 평균이 모평균에 확률수렴한다는 것을 보장하는 법칙이다.통계적 추정의 기반이 되는 가장 핵심적인 정리 중 하나이다.   샘플 평균이 점점 모평균 μ에 가까워진다.많이 측정할수록 정답에 가까워진다.→ 통계적 추정의 핵심 원리증명에 사용되는 도구마르코프 부등식체비셰프 부등식→ 이들로부터 확률수렴이 유도됨예제

관련 성질확률수렴이면 분포수렴이 따라올 수 있음 (항상은 아님)확률수렴은 거의 모든 수렴 개념보다 약하지만,확률론에서 널리 쓰임 (특히 대수의 법칙과 함께)예제

코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz Inequality)은기댓값과 분산, 공분산 계산의 기초가 되는 매우 중요한 불평등식이다.선형대수에서도 자주 등장하지만, 확률 이론에서도 핵심적으로 쓰인다.공식 (확률 변수 버전) 두 변수의 곱의 기댓값(상관도)이, 각각의 제곱 기댓값(분산 수준)의 곱의 제곱근보다 크지 않음벡터 내적의 확률 버전이 부등식은(벡터 내적 ≤ 노름 곱)이라는 선형대수의 공식과 완전히 같은 구조이다.→ 확률 이론에서는 내적 = 기대값, 노름 = 제곱기댓값의 제곱근으로 해석동등 조건 즉, X = aY 같은 형태일 때만 부등식이 등호가 됨활용상관계수 정의에서 증명에 사용:불확실성 하한 증명회귀 분석의 수학적 기반내적 공간 성질 이해예제 → 두 값이 같음 → X, Y는 선형 관계