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Multinomial Distribution (다항 분포)다항 분포(Multinomial Distribution)는 여러 개의 범주형 결과가 나올 수 있는 시행을 여러 번 반복했을 때의 분포이다. 정의한 번의 시행에서 K개의 결과 중 하나가 나옴 (예: 동전 2면 → 이항, 주사위 6면 → 다항).시행을 n번 반복했을 때, 각 범주가 나온 횟수를 벡터로 표현.확률 질량 함수 (PMF) 이항 분포: 은 K = 2일 때의 특별한 경우이다.기댓값과 공분산기댓값: 공분산: 서로 다른 범주 간에는 음의 공분산(한쪽이 많으면 다른 쪽은 적음)예제주사위(6면)를 10번 던졌을 때, 각 면이 나온 횟수의 분포는?

다변량 정규분포(Multivariate Normal Distribution)는 여러 개의 확률 변수가 정규분포를 따르며 서로 상관관계를 가질 수 있는 분포이다.머신러닝, 통계, 신호 처리 등에서 매우 중요한 분포다. 확률 밀도 함수 (PDF)이 식은 1차원 정규분포의 확장이라고 보면 된다.중심은 평균 μ, 형태는 공분산 행렬 Σ에 의해 결정된다.성질주변 분포도 정규 분포→ 전체가 다변량 정규 분포를 따르면, 부분 벡터도 정규 분포를 따름 조건부 분포도 정규 분포→ 일부 변수를 조건으로 고정했을 때 나머지 변수의 분포도 여전히 정규 분포 선형 변환에도 안정적 공분산 행렬의 고유벡터 방향으로 타원 형태→ 등고선은 타원, 중심은 μ예제 주변 분포는 각각 정규 분포조건부 분포도 정규 분포

확률 벡터란?확률 변수 여러 개를 벡터 형태로 묶은 것이 확률 벡터이다. 예:이때 X는 n차원 확률 벡터 (random vector)각 Xi는 확률 변수이고, 전체가 하나의 다변량 확률 분포를 따르게 된다.다변량 분포(Multivariate Distribution)확률 벡터 X의 분포는 다음과 같은 성분들로 구성된다:결합 확률 밀도 함수 (Joint PDF): 주변 분포 (Marginal Distribution):각 변수에 대해 나머지를 적분하여 구함. 조건부 분포 (Conditional Distribution):일부 변수를 조건으로 고정한 후 나머지의 분포를 분석.기댓값 벡터와 공분산 행렬다변량 확률 벡터의 대표적인 두 가지 통계량은 다음과 같다: 기대값 벡터 (Mean Vector)   공분산 행렬 ..